Zufall: „Und wenn wir dann nur Nazis auslosen würden?“

Ein Einwand, der in jeder Diskussion zur aleatorischen Demokratie irgendwann kommt, ist der, dass durch den unkontrollierbaren Zufall ja auch mal nur Extrempositionen in der Gruppe vertreten sein könnten. Das heißt dann gerne: „Und wie verhindern wir, dass da durch Zufall nur Nazis sitzen?“ (Oder auch: „nur Menschen aus einem Kiez“ etc.)

Wie immer in der Statistik kommt es dabei auf die beiden Größen Grundgesamtheit und Stichprobengröße (hier also die Ausgelosten) an.

Um es an einer Stichprobe von 1.000 deutlich zu machen, die z.B. für ein Bürgerparlament vorgeschlagen wird und wie sie bei den allermeisten repräsentativen Umfragen genutzt wird:

Wenn man 1.000 Menschen aus der deutschen Gesamtbevölkerung** (oder nur unter den (wahlberechtigten) Bürgern) auslost und dabei mal der Einfachheit halber annimmt, dass jeder Zehnte das Kriterium erfüllt, vor dessen Überrepräsentanz man sich fürchtet, dann ist die Wahrscheinlichkeit für eine Komplettbesetzung mit diesen Menschen 1 zu 10 hoch 1.000 (1: 10¹⁰⁰⁰). Denn bei jeder einzelnen Ziehung ist die Wahrscheinlichkeit ja 1:10, was tausendmal miteinander multipliziert werden muss.

Für diese dabei entstehende Zahl im Nenner (1/10¹⁰⁰⁰) gibt es gar keinen Namen mehr, es ist eben eine Zahl, die mit 1 beginnt und dann tausend Nullen hat.

Durch den Bruch ergibt sich eine unvorstellbar kleine Zahl. Denn betrachten wir die Zahl im Nenner, dann helfen nur noch Vergleiche:

Das beobachtbare Universum besteht aus etwa 10²³ Sternen und 10⁸⁰ Atomen. Um unsere Zahl 10¹⁰⁰⁰ in Anzahl von Atomen zu beschreiben, bräuchten wir also nicht etwa nur ein paar Mal alle Atome unseres Universums, sondern alle Atome von 10⁹²⁰ Universen.

Die Zahl mit eintausend Nullen hinter der 1 bleibt also völlig außerhalb jeder Vorstellungskraft.

Und wie groß wäre die Wahrscheinlichkeit, dass wenigstens die Hälfte unserer 1.000 Ausgelosten das mit 1:10 in der Grundgesamtheit vertretene Kriterium erfüllen (also 500 bis 1000 Ausgeloste, anstatt der statistisch zu erwartenden 100)?

Hierfür beträgt die Wahrscheinlichkeit etwa 1 zu 10 hoch 223, liegt also ebenfalls außerhalb allen Vorstellbaren. Als Formel: P (X≥500) ≈6.1×10⁻²²⁴
Auch diese Wahrscheinlichkeit ist also unvorstellbar gering.

Und um nun in den Bereich eher vorstellbarer Zahlen zu kommen: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass unser Merkmal (nur) doppelt so häufig in der Stichprobe vorkommt, als es repräsentativ wäre (also 200 Bürger mit dem Merkmal statt der erwarteten 100)?

Antwort: Ungefähr 1:10²³, also eins zu einhundert Trilliarden.

P (X≥200)≈1.5×10⁻²³

Eine Trilliarde entspricht, siehe oben, der geschätzten Anzahl an Sternen im Universum.

Oder ein anderer Vergleich zur Veranschaulichung der Unwahrscheinlichkeit einer doppelt so großen Anzahl des Merkmals in der Stichprobe als statistisch zu erwarten wäre: Wenn wir das Alter des Universums mit 14 Milliarden Jahren annehmen, dann sind bisher 4,42 x 10¹⁷ Sekunden vergangen. Wenn also in dieser langen Zeit jede Sekunde eine Auslosung von 1.000 Menschen stattgefunden hätte, dann wäre dieses Ereignis bis heute höchst wahrscheinlich immer noch nicht einmal eingetreten.

Wir sehen also: Bei entsprechend großer Losgruppe sind gefährliche Verzerrungen gegenüber der Grundgesamtheit (=Bevölkerung) äußerst unwahrscheinlich. Oder positiv betrachtet: Bei einer Tausendergruppe von Ausgelosten werden alle Merkmale aus der Bevölkerung einigermaßen repräsentativ vertreten sein, relevante Abweichungen sind statistisch unmöglich.

Zur Erläuterung: Was ist eine relevante Abweichung?
Wenn ein Merkmal sehr selten ist und statistisch gesehen einmal unter 1.000 Menschen vorkommen sollte, dann kann es natürlich in unserer Losgruppe auch null-mal (Wahrscheinlichkeit: 36,8%) oder zweimal, dreimal oder fünfmal (Wahrscheinlichkeit: 0,305%*) vorkommen. Aber selbst eine solch unwahrscheinliche Verfünffachung ist aber angesichts von 1.000 Ausgelosten völlig belanglos, sie hat keine Auswirkungen auf das Beratungsergebnis.

Fußnoten:

* Da hier die Wahrscheinlichkeit von genau 5 Auslosungen angegeben ist, zur Beruhigung noch der Wert für „mindestens 5“, also 5 bis zu alle 1.000: Da jede weitere Häufung immer unwahrscheinlicher wird, liegt der Wert für 5 oder beliebig viel mehr Merkmalsträger bei 0,364%.

** Alle Rechnungen basieren darauf, dass die Grundgesamtheit im Verhältnis zur Stichprobe sehr groß ist, so dass die Stichprobe die Verteilung von Merkmalen in der Grundgesamtheit nicht erwähnenswert verändert.